Distância entre dois Pontos

Plano de Aulas de Matemática para o 3º ano – Início: 23/02/12

Livro Didático: IEZZI, Gelson et all.. Matemática: Ciência e aplicações. 6.ed. São Paulo: Saraiva, 2010.

Conteúdo Programático: Geometria Analítica

Tópico Programático: Pontos

! – Geometria Analítica: Distância entre dois pontos

A distância entre dois pontos corresponde à medida do segmento de reta que tem os dois pontos como extremidades.

É indicada por

Veremos três casos:

1º Caso: O segmento AB é paralelo ao eixo x. A distância entre esses dois pontos é dada pelo módulo das abscissas dos dois pontos:

d_AB = |X_B – X_A| ou d_AB = |X_A – X_B|, porquê como a operação está em módulo, seu valor final sempre será positivo, ainda que a diferença seja negativa. O módulo de um número é sempre positivo, ainda que ele seja negativo. Exemplos: |-1| = 1.

Ex.: Calcular a distância entre os pontos P(– 2, 4) e Q(3, 4). Observe que esses dois pontos têm a mesma ordenada, portanto, a reta formada por eles é paralela ao eixo x.

Demonstrar.

2º Caso: O segmento AB é paralelo ao eixo y. A distância entre esses dois pontos é dada pelo módulo das ordenadas dos dois pontos:

d_AB = |Y_B – Y_A| ou d_AB = |Y_A – Y_B|.

Ex.: Ex.: Calcular a distância entre os pontos P(3, – 2) e Q(3, 2). Observe que esses dois pontos têm a mesma abscissa, portanto, a reta formada por eles é paralela ao eixo y.

Demonstrar.

3º Caso: O segmento AB não é paralelo a nenhum dos eixo coordenados x ou y. A distância entre esses dois pontos será dada pela aplicação do Teorema de Pitágoras, no triângulo retângulo que se forma com os pontos ABP, sendo P um ponto que terá a mesma abscissa de B ou a mesma ordenada de A.

 (d_AB)² = (d_AP)² + (d_BP)², SENDO d_AB = (X_A – X_B)² e (d_BP)² = (Y_A – Y_B)²

Ex.: 1) Calcular a distância entre os pontos A(2, 3) e Q(5, 1). Observe que esses dois pontos NÃO têm a mesma abscissa e NEM a mesma ordenada, portanto, a reta formada por eles nem é paralela ao eixo y e nem é paralela ao eixo x.

Demonstrar.

Ex.: 2) Calcular a distância entre os pontos C(3, – 2) e D(3, 2). Observe que esses dois pontos TAMBÉM NÃO têm a mesma abscissa e NEM a mesma ordenada, portanto, a reta formada por eles nem é paralela ao eixo y e nem é paralela ao eixo x.

Demonstrar.

OBS.: A fórmula do 3º caso poderá ser aplicada a todos os casos de distância entre dois pontos. Neste caso basta considerar um terceiro ponto P com coordenada ou abscissa ZERO conforme for o caso.

Demonstrar.

Exercícios: Pag. 15, n. 14-21.
Exercícios extras: Pag. 16, n. 22-28.