Apesar de se provar a existência dos números complexos, eles continuam a ser estranhos para nós, pois têm menos relação com o mundo real que os outros números já nossos conhecidos. Um número imaginário não serve para medir a quantidade de água num copo nem para contar o número de dedos que temos!
No entanto, existem algumas medidas no nosso mundo onde os números imaginários são medidores perfeitos. Um campo eletromagnético é um exemplo: tem uma componente eléctrica e outra magnética e por isso, é preciso um par de números reais para o descrever. Este par pode ser visto como um número complexo e encontramos, assim, uma aplicação direta na Física, para a estranha regra da multiplicação de números complexos.
Existem poucas aplicações diretas dos números complexos no dia-a-dia. No entanto, há muitas aplicações indiretas. Muitas propriedades dos números reais só se tornaram conhecidas quando estes foram vistos como parte do Conjunto dos Números Complexos.
É como tentar perceber uma sombra.
Uma sombra pertence a um mundo a duas dimensões. Portanto, só lhe é aplicável conceitos que utilizem duas dimensões.
No entanto, pensarmos no objeto de três dimensões que a provoca poderá ajudar-nos a perceber certas propriedades do mundo a duas dimensões, apesar de não haver aplicação direta de um mundo no outro.
Da mesma forma, mesmo não existindo aplicação direta entre o mundo real e os números complexos, estes poderão ajudar-nos a compreender muita coisa do nosso mundo.
A próxima analogia ajudará a perceber melhor.
Consideremos a População A com 236 pessoas, das quais 48 são crianças e a População B com 123 crianças em 1234 pessoas. Efetivamente, 48/236 (aprox. 0,2) é maior que 123/1234 (aprox.0,1). Portanto, a Pop. A é mais nova que a Pop. B.
Neste exemplo são usadas fracções, números não inteiros, num problema onde não têm significado físico. Não podemos medir populações com fracções; não podemos ter meia pessoa, por exemplo! Os números que têm ligação direta com esta questão são os naturais.
As frações, neste contexto, são tão estranhas como o são os complexos na maioria das medições do mundo real. No entanto, o seu uso serve para melhor entendermos uma situação do mundo real.
Da mesma forma, o uso dos complexos nos ajuda a compreender vários acontecimentos que, diretamente, só se relacionam com os números reais.
Por exemplo, em Engenharia, é usual ter de se resolver equações da forma y'' + by' + cy = 0, para a função desconhecida y. Uma forma de resolver passa por achar as raízes do polinômio, em r, r2 + br + c = 0. Mas, sucede diversas vezes não conseguirmos achar raízes reais e só encontramos complexas. O que se faz é achar todas as raízes no conjunto dos números complexos e depois considerarmos apenas aquelas que, afinal, são reais.
No início e no fim só consideramos reais mas, pelo meio os complexos foram precisos.
Uma vez que este tipo de equações (chamadas Equações Diferenciais) surgem constantemente em problemas que representam o mundo real, por exemplo em Engenharia, podemos afirmar que os números complexos têm utilidade na nossa vida.
Além de facilitar a resolução de equações de 3º e 4º graus, estar ligado à física e à geometria dos fractais, para que realmente servem os números complexos nos dias de hoje?
Os números complexos têm grande influência na eletrônica e na eletricidade, a análise de circuitos de corrente alternada, é feita com a ajuda dos números complexos. Grandezas como a impedância (em ohms) e a potência aparente (em volt-ampére) são exemplos de quantidades complexas.
A impedância é o número complexo Z = R + jX., ou na forma polar Z = Z (cos Φ + j sem Φ), onde j2 = -1, Φ é o ângulo (argumento) de defasagem entre a tensão aplicada e a corrente no circuito, Z é o módulo, R é a resistência e X é a resultante das reatâncias indutivas e capacitivas do circuito. Os engenheiros usam j no lugar do i para evitar confusão com o i de corrente. A potência aparente é o número complexo P = Pr + jPx, ou P = P (cos Φ + jsen Φ ), onde j2 = -1, P é o módulo, Φ é o ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente, Pr é a potência real ou ativa ( em watts), Px é a potência reativa (em volt-ampére reativo). O valor do cos Φ (fator de potência) é importante na determinação do aproveitamento de energia que está sendo gasta.
(http://www.ezequiassilva.hpg.ig.com.br/mat/resumo.html)
Existem poucas aplicações diretas dos números complexos no dia-a-dia. No entanto, há muitas aplicações indiretas. Muitas propriedades dos números reais só se tornaram conhecidas quando estes foram vistos como parte do Conjunto dos Números Complexos.
É como tentar perceber uma sombra.
Uma sombra pertence a um mundo a duas dimensões. Portanto, só lhe é aplicável conceitos que utilizem duas dimensões.
No entanto, pensarmos no objeto de três dimensões que a provoca poderá ajudar-nos a perceber certas propriedades do mundo a duas dimensões, apesar de não haver aplicação direta de um mundo no outro.
Da mesma forma, mesmo não existindo aplicação direta entre o mundo real e os números complexos, estes poderão ajudar-nos a compreender muita coisa do nosso mundo.
A próxima analogia ajudará a perceber melhor.
Consideremos a População A com 236 pessoas, das quais 48 são crianças e a População B com 123 crianças em 1234 pessoas. Efetivamente, 48/236 (aprox. 0,2) é maior que 123/1234 (aprox.0,1). Portanto, a Pop. A é mais nova que a Pop. B.
Neste exemplo são usadas fracções, números não inteiros, num problema onde não têm significado físico. Não podemos medir populações com fracções; não podemos ter meia pessoa, por exemplo! Os números que têm ligação direta com esta questão são os naturais.
As frações, neste contexto, são tão estranhas como o são os complexos na maioria das medições do mundo real. No entanto, o seu uso serve para melhor entendermos uma situação do mundo real.
Da mesma forma, o uso dos complexos nos ajuda a compreender vários acontecimentos que, diretamente, só se relacionam com os números reais.
Por exemplo, em Engenharia, é usual ter de se resolver equações da forma y'' + by' + cy = 0, para a função desconhecida y. Uma forma de resolver passa por achar as raízes do polinômio, em r, r2 + br + c = 0. Mas, sucede diversas vezes não conseguirmos achar raízes reais e só encontramos complexas. O que se faz é achar todas as raízes no conjunto dos números complexos e depois considerarmos apenas aquelas que, afinal, são reais.
No início e no fim só consideramos reais mas, pelo meio os complexos foram precisos.
Uma vez que este tipo de equações (chamadas Equações Diferenciais) surgem constantemente em problemas que representam o mundo real, por exemplo em Engenharia, podemos afirmar que os números complexos têm utilidade na nossa vida.
Além de facilitar a resolução de equações de 3º e 4º graus, estar ligado à física e à geometria dos fractais, para que realmente servem os números complexos nos dias de hoje?
Os números complexos têm grande influência na eletrônica e na eletricidade, a análise de circuitos de corrente alternada, é feita com a ajuda dos números complexos. Grandezas como a impedância (em ohms) e a potência aparente (em volt-ampére) são exemplos de quantidades complexas.
A impedância é o número complexo Z = R + jX., ou na forma polar Z = Z (cos Φ + j sem Φ), onde j2 = -1, Φ é o ângulo (argumento) de defasagem entre a tensão aplicada e a corrente no circuito, Z é o módulo, R é a resistência e X é a resultante das reatâncias indutivas e capacitivas do circuito. Os engenheiros usam j no lugar do i para evitar confusão com o i de corrente. A potência aparente é o número complexo P = Pr + jPx, ou P = P (cos Φ + jsen Φ ), onde j2 = -1, P é o módulo, Φ é o ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente, Pr é a potência real ou ativa ( em watts), Px é a potência reativa (em volt-ampére reativo). O valor do cos Φ (fator de potência) é importante na determinação do aproveitamento de energia que está sendo gasta.
(http://www.ezequiassilva.hpg.ig.com.br/mat/resumo.html)
Os números complexos também têm sua aplicação na Aerodinâmica. Joukowski (1906), utilizando transformações geométricas, construiu uma curva fechada no plano complexo que representa o perfil de uma asa de avião (aerofólio de Joukowski) e usando o princípio de Bernoulli (1738) e a teoria das funções complexas, deduziu a fórmula F = x + yi = - ieiα (VkLp), que permite calcular a força do levantamento responsável pela sustentação do vôo de um avião.
(http://www.ezequiassilva.hpg.ig.com.br/mat/resumo.html)
(http://www.ezequiassilva.hpg.ig.com.br/mat/resumo.html)
Há muitos anos os números complexos têm sua aplicação na física; permite representar e operar vetores no plano (http://www.ucs.br/ccet/deme/emsoares/inipes/complexos/) , a análise de circuitos de corrente alternada na eletrônica e na eletricidade (http://www.ezequiassilva.hpg.ig.com.br/mat/resumo.html).
Como o corpo dos números complexos facilitam desenhar ou modelar qualquer forma da natureza (geometria fractal) numa tela de computador (computação gráfica), podemos dizer que estes têm sua função na engenharia e na biologia.
(http://www.ezequiassilva.hpg.ig.com.br/mat/resumo.html)
Como o corpo dos números complexos facilitam desenhar ou modelar qualquer forma da natureza (geometria fractal) numa tela de computador (computação gráfica), podemos dizer que estes têm sua função na engenharia e na biologia.
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